ISBN 9783843901772

978-3-8439-0177-2, Reihe Mathematik

Andreas Zeiser
Direkte Diskretisierung der Schrödingergleichung auf dünnen Gittern

193 Seiten, Dissertation Technische Universität Berlin (2010), Hardcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

Die elektronische Schrödingergleichung ist der Schlüssel zum Verständnis des Verhaltens von Atomen und Molekülen und damit zur Vorhersage ihrer chemischen Eigenschaften. Im allgemeinen muss diese Gleichung mit Hilfe numerischer Verfahren approximativ gelöst werden. Verwendet man klassische Diskretisierungsverfahren, so steigt der Aufwand exponentiell in der Anzahl der Elektronen - ein Verhalten, welches auch als Fluch der Dimensionen bezeichnet wird.

Ein möglicher Ausweg besteht darin, Diskretisierungen zu verwenden, welche zur Approximation die erstaunlich hohe gemischte Regularität der Wellenfunktionen, sowie deren exponentielles Abklingen ausnutzen. Die vorliegende Arbeit untersucht allgemein die Diskretisierung hochdimensionaler elliptischer Gleichungen für den Fall, dass die gesuchte Lösung in gewichteten Sobolevräumen gemischter Ordnung liegt. Das wichtigste Beispiel ist dabei die oben angesprochene elektronische Schrödingergleichung. Für die Diskretisierung werden anisotrope Tensorprodukte von Wavelets verwendet. Auf diese Weise werden Approximationsraten erreicht, die bis auf logarithmische Terme unabhängig von der Anzahl der Dimensionen sind. Genügt die Lösung zudem noch gewissen Antisymmetriebedingungen, wie dies für die Schrödingergleichung der Fall ist, so sind die Raten tatsächlich unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, der Fluch der Dimensionen also gebrochen.