ISBN 9783843906487

978-3-8439-0648-7, Reihe Mathematik

Tobias Ramming
Über Familien sphärisch symmetrischer stationärer Lösungen des Vlasov-Poisson-Systems

113 Seiten, Dissertation Universität Bayreuth (2012), Hardcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Untersuchung von Familien stationärer Lösungen des Vlasov-Poisson-Systems, eines nichtlinearen Systems partieller Differentialgleichungen aus dem Bereich der mathematischen Physik, welches der dynamischen Beschreibung abgeschlossener und rein gravitativ wechselwirkender Materieverteilungen innerhalb eines sechsdimensionalen Phasenraums dient.

Zur Konstruktion stationärer Lösungen verwenden wir ein wohlbekanntes Verfahren, bei welchem die Phasenraumdichte als Funktion der Partikelenergie angesetzt wird. Einem allgemeineren Resultat von Gidas, Ni und Nirenberg zufolge sind Lösungen dieser Art stets sphärisch symmetrisch, womit neben der Partikelenergie auch der Drehimpuls entlang Lösungen des charakteristischen Systems der Vlasov-Gleichung erhalten ist und jede hinreichend reguläre Funktion dieser Größen stets auch der Vlasov-Gleichung genügt. Es bleibt dann noch eine semilineare Poisson-Gleichung zu lösen, welche aufgrund der sphärischen Symmetrie zu einer gewöhnlichen Integrodifferentialgleichung zweiter Ordnung führt. Die Untersuchung der Frage, unter welchen Voraussetzungen an die Ansatzfunktion für geeignete Anfangswerte Lösungen existieren, welche sphärisch symmetrischen Lösungen des Vlasov-Poisson-Systems mit endlicher Masse und kompaktem Träger entsprechen, war Gegenstand mehrerer Arbeiten der letzten Jahre.

Zu dem soeben skizzierten Verfahren geben wir einen neuen und einfachen Beweis für die Kompaktheit des Trägers der erhaltenen Lösungen an. Anders als bisherige Resultate lässt sich unsere Methode leicht auf eine Reihe weiterer Modelle (relativistisches Vlasov-Poisson-, Einstein-Vlasov-, Poisson-Euler- und Einstein-Euler-System) übertragen. Zudem stellen die von uns erhaltenen Kriterien für die Kompaktheit der zugehörigen stationären Lösungen teilweise Verallgemeinerungen der zu den einzelnen Modellen bisher bekannten Kriterien dar.