ISBN 978-3-8439-1020-0

978-3-8439-1020-0, Reihe Mathematik

André Uschmajew
Zur Theorie der Niedrigrangapproximation in Tensorprodukten von Hilberträumen

112 Seiten, Dissertation Technische Universität Berlin (2012), Hardcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

In dieser Arbeit werden verschiedene Fragen der Tensorproduktapproximation in Hilberträumen behandelt. Motiviert werden diese Fragen durch nichtlineare Separationsansätze für Funktionen mehrerer Variablen, die in vielen Anwendungen eingesetzt werden mit dem Ziel, den sogenannten Fluch der Dimensionen zu umgehen.

Im ersten Abschnitt werden multilineare Tensorformate wie die kanonische Entwicklung in Elementartensoren und optimale Unterraumdarstellungen in Tensorprodukten von Hilberträumen definiert, sowie geometrische Eigenschaften der zugehörigen Rangbegriffe untersucht. In Kapitel 5 beweisen wir Mannigfaltigkeitsstrukturen für Mengen von Tensoren mit festem Unterraumrang.

Im zweiten Abschnitt werden topologische Eigenschaften der Mengen von Tensoren mit beschränktem Rang untersucht, sowie entsprechende Konsequenzen zur Existenz von Minimierern geeigneter Funktionen gezogen. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Existenz bester Approximationen eines Tensors durch einen Tensor niedrigeren Ranges bezüglich der kanonischen Kreuznorm. Als eigenes Resultat ist hier die Existenz bester Approximation in orthogonalen Tensorformaten zu nennen (Abschnitt 7.3). Weiterhin ergeben sich aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen interessante Regularitätsaussagen für die Faktoren in einer besten Approximation (Kapitel 8).

Der dritte Abschnitt behandelt die Berechnung von Approximationen mittels des nichtlinearen Gauß-Seidel-Verfahrens. Das Hauptergebnis sind die lokalen Konvergenzsätze für verschiedene Tensorformate in Kapitel 10. Sie werden aus einer neuen geometrischen Deutung des Verfahrens als "Iteration auf Orbitmannigfaltigkeiten" gewonnen, welche in Kapitel 9 dargelegt wird.