ISBN 978-3-8439-2137-4

978-3-8439-2137-4, Reihe Mathematik

Katharina Hees
Gemeinsame Konvergenz von Summe und Maximum und das Grenzwertverhalten von gekoppelten Continuous Time Random Maxima

161 Seiten, Dissertation Universität Siegen (2014), Softcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

Es sei (W_i,J_i) für i=1,2,... eine Folge von i.i.d. Zufallsvektoren. Betrachtet man die n-te Partialsumme der ersten Komponente sowie das entsprechende Maximum der zweiten Komponente, so stellt sich die Frage, gegen welche Verteilung Summe und Maximum unter geeigneter Normierung konvergieren. Sind die W_i und die J_i voneinander unabhängig, so ist die Verteilung das Produktmaß der Grenzverteilungen der beiden Komponenten. Lässt man aber zu, dass zwischen W_i und J_i Abhängigkeiten auftreten, so können diese Abhängigkeiten auch noch im Grenzwert auftreten. In diesem Fall benötigt man eine neue Theorie, um die Grenzverteilungen zu beschreiben. Um dies zu untersuchen benutzen wir Harmonische Analyse auf Halbgruppen und erarbeiten so im ersten Teil der Arbeit eine Theorie, die es uns ermöglicht, die auftretenden Grenzverteilungen zu charakterisieren und deren Anziehungsbereich zu beschreiben. Ferner finden wir eine Charakterisierung dafür, in welchen Fällen die Abhängigkeit im Grenzwert nicht mehr auftritt.

Im zweiten Teil der Arbeit wenden wir den ersten Teil auf die Untersuchung von gekoppelten Continuous Time Random Maxima (CTRM) an. CTRMs stellen eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Extremwerttheorie dar: Man beobachtet Ereignisse nicht zu festen Zeitpunkten oder nach exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten, sondern die Wartezeiten werden ebenfalls durch beliebige Zufallsvariablen beschrieben. Im Falle, dass die Wartezeiten zwischen den Ereignissen einen unendlichen Erwartungswert besitzen, gelangt man mit diesem Modell zu einem Grenzprozess, der sich vom Grenzprozess im klassischen Fall unterscheidet. Wir erhalten mit einem Continuous Mapping Ansatz einen Grenzwertsatz für die beiden Fälle, dass die Ereignisse rückwärts bzw. vorwärts gekoppelt sind, dass heißt, von den vorhergehenden Wartezeiten oder nachfolgenden Wartezeiten abhängig sind. Ferner erzielen wir eine Formel für die Verteilungsfunktion der Grenzwerte. Darüber hinaus erhalten wir eine Formel für eine Laplace-Transformierte der Grenzwerte. Mit Hilfe dieser Formel ist es möglich, durch Inversion der Laplace-Transformation die Grenzwertverteilungsfunktionen zu berechnen und man erhält sogenannte "governing equations". Dies sind in unserem Fall zeitfraktionelle Differentialgleichungen, deren Lösungen die Verteilungsfunktionen unserer Grenzprozesse sind.