ISBN 978-3-8439-3466-4

978-3-8439-3466-4, Reihe Mathematik

Benedikt Bauer
Statistische Aspekte der Schätzung von Ersatzmodellen und des Deep Learnings in hohen Dimensionen

153 Seiten, Dissertation Technische Universität Darmstadt (2018), Hardcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

Viele ingenieurwissenschaftliche Experimente lassen sich heutzutage virtuell durchführen. Wird dabei in einem entsprechenden Programm ein sehr komplexes technisches System modelliert, kann ein einzelner Durchlauf dieses Computerexperiments relativ lange dauern. Für verlässliche statistische Aussagen wird aber oft eine große Stichprobe benötigt. Es kann sich also lohnen, ein Ersatzmodell für das aufwendige Programm zu berechnen, welches in kurzer Zeit sehr viele leicht verfälschte Auswertungen ermöglicht.

Die daraus resultierende Problemstellung der Schätzung einer Funktion anhand zufällig verstreuter, fehlerfreier Beobachtungen wird in dieser Arbeit durch neue Schätzverfahren basierend auf Splines und neuronalen Netzen gelöst. Weiterhin werden die Auswirkungen auf Quantilschätzer, die auf Daten aus solchen Ersatzmodellen zurückgreifen, untersucht. Insgesamt entstehen nicht nur Schätzverfahren mit teils optimalen Konvergenzraten, sondern auch Möglichkeiten zur Umgehung des Fluchs der hohen Dimension und zum Übertreffen herkömmlicher Methoden.

Die dabei für speziell konstruierte neuronale Netze bewiesenen Approximationsresultate haben weitreichende Konsequenzen. Für einen recht allgemeinen Typ von Funktionen führen sie auch in der nichtparametrischen Regressionsschätzung mit Fehler auf dimensionsfreie Konvergenzgeschwindigkeiten. Dies liefert einen Erklärungsansatz für die bahnbrechenden Erfolge des Deep Learnings in aktuellen Aufgabenstellungen für künstliche Intelligenz.

Sämtliche in dieser Arbeit neu entwickelten Schätzverfahren werden anschließend durch Simulationen getestet und mit alternativen Vorgehensweisen aus der Literatur verglichen.